プロバイダの乗り換え中なのですが

プロバイダーの乗り換え中で、疑問があるので教えて下さい。 自分でパソコンを買い設定も自分でしていますが、いまいちパソコンやネットに詳しくありません。 電気屋さんで、買った品物から値引きしてくれるとの事で、プロバイダーを乗り換えする事になりました。 利用料金の関係で、３月末で今までのプロバイダーを解約し、４月１日に新しいプロバイダーにして、と言われました。 なので２月後半に旧プロバイダーに解約を申し込み、３月末で旧プは解約すると旧プからメールが届いています。 で、今日、４月１日になったので、新プに接続しなきゃ、とパソコンを立ち上げてみたら、普通にネット出来ています。 新プは、店頭で手続きをしたので、IDやパスワードは届いてます。 支払方法も済んでいます。 でも、自分で何か設定しない限り、新プには変更されていませんよね？ また、旧プのメールアドレスでのメール送受信が、まだ出来ています。 これって、まだ旧プが解約されていないのでしょうか。 料金が２重に発生してしまうのでしょうか。 よく分からないので、教えて下さい。